分（中）位数回归算法 -医学小样本数据回归分析的更佳选择 ？

在医学研究中，小样本数据回归分析是一项常见且重要的任务。由于医学数据的复杂性、多样性和稀缺性，传统的回归分析方法如最小二乘法（OLS）在处理这类数据时可能面临诸多挑战，如异常值敏感性高、数据偏斜等。分位数回归（Quantile Regression）作为一种统计方法，以其独特的优势成为医学小样本数据回归分析的更佳选择。

分位数回归算法概述

分位数回归最早由Roger Koenker和Gilbert Bassett于1978年提出，旨在研究自变量与因变量的条件分位数之间的关系。与传统的回归分析（如OLS）不同，分位数回归不仅关注因变量的条件期望（均值），还关注其条件分位数，如中位数、25%分位数和75%分位数等。这种方法通过最小化非对称形式的绝对值残差，构建自变量与因变量分位数之间的线性关系模型。

基本原理

分位数回归的核心思想是将目标变量（因变量）设置为特定分位数，并计算该分位数的条件概率密度函数。这些密度函数描述了自变量与因变量在特定分位数下的关系。在实际操作中，通过选择不同的分位数（如0.25、0.5、0.75等），可以构建多个分位数回归模型，以全面描述因变量的条件分布。

图注：红色虚线带表的是均值线性回归的拟合，蓝色线代表的是中位数回归的拟合结果，灰色线代表的其它分位数回归拟合的结果

优点

• 稳健性：分位数回归对异常值和数据偏斜不敏感，因此在处理含有异常值或偏斜分布的医学数据时具有更高的稳健性。
• 全面性：通过构建多个分位数回归模型，可以全面描述因变量的条件分布，而不仅仅是其条件期望。
• 灵活性：分位数回归不需要假设误差项的正态分布，因此适用于各种非正态分布的医学数据。
  
  图注：横坐标是各个分位数，纵坐标是变量的回归系数，代表变量的区间不同，对预测结果的贡献也不同。

分位数回归的应用

• 变量间关系分析：在医学研究中，研究者经常需要分析多个变量之间的关系，如药物剂量与治疗效果、患者年龄与生存率等。分位数回归能够揭示这些变量在不同分位数下的关系，提供比传统回归更全面的信息。例如，在药物剂量研究中，分位数回归可以分析不同剂量下治疗效果的变化，帮助医生制定更精确的用药方案。
• 预测：分位数回归不仅可以用于变量间关系的分析，还可以用于预测。通过构建多个分位数回归模型，研究者可以预测因变量在不同分位数下的值，从而提供更精确的预测结果。

在小样本数据的优势

• 对于医学小样本数据，分位数回归的优势尤为明显。由于小样本数据往往具有较大的变异性和不确定性，传统的回归分析方法可能难以准确捕捉变量之间的关系。而分位数回归通过其稳健性和全面性，能够在小样本数据下提供更为可靠的回归分析结果。
• 下面通过实验简单比较分位数回归和均值回归：

1. 检验结局变量的正态性

library(nortest)   # 使用ad.test函数进行Anderson-Darling检验   ad.test(airquality$Ozone) #p值＜0.001，表明数据不符合正态分布 

2. 分位数回归

#中位数回归预测 airq <- airquality[143:145,] f <- rq(Ozone ~ ., data=airquality)#tau=.5 predict(f,newdata=airq) #说明：中位数回归，默认是tau=0.5 #预测结果：143：48.9635248831032 144：2.72110881442428 145：17.638599052014 

AIC(f) #计算结果：979.126779601049 

3. 均值回归

#均值回归 f_lm<-lm(Ozone ~ ., data=airquality) predict(f_lm,newdata=airq) #预测结果：143：53.0136929276497 144：5.75872297429852 145：19.3243671366314 

AIC(f_lm) #计算结果：997.218772911938 

4. 结果：分位数回归的AIC参数高于均值回归。

结论

对于小样本回归任务，结局变量非正态分布的情况下，采用分位数回归可能是一个更好的选择。以上R代码采用quantreg包完成，更详细的代码可以参考链接。