文章目录

• 一、背景 P124 - 125
• 二、基本概念 P125 - 130
• • 2.1 复数 P125 - P126
  • 2.2 傅里叶级数 P126
  • 2.3 冲激及其取样特性 P126 - P128
  • 2.4 连续变量函数的傅里叶变换 P128 - P130
  • 2.5 卷积 P130 - P131
• 三、取样与取样函数的傅里叶变换 P131 - P137
• • 3.1 取样 P131 - P132
  • 3.2 取样函数的傅里叶变换 P132 - P133
  • 3.3 取样定理 P134 - P135
  • 3.4 混淆 P135 - P137
  • 3.5 由取样后的数据重建（复原）函数 P137 - P138
• 四、单变量的离散傅里叶变换(DFT) P138 - P140
• • 4.1 由取样后的函数的连续变换得到DFT P138 - P140
  • 4.2 取样和频率间隔间的关系 P140
• 五、两个变量的函数的扩展 P141 - P147
• • 5.1 二维冲激及其取样特性 P141 - P142
  • 5.2 二维连续傅里叶变换对 P141 - P142
  • 5.3 二维取样和二维取样定理 P142 - P143
  • 5.4 图像中的混淆 P143 - P147
  • 5.5 二维离散傅里叶变换及其反变换 P147
• 六、二维离散傅里叶变换的一些性质 P148 - P159
• • 6.1 空间频率间隔的关系 P148
  • 6.2 平移和旋转 P148
  • 6.3 周期性 P148 - P150
  • 6.4 对称性 P150 - P154
  • 6.5 傅里叶谱与相角 P154 - P156
  • 6.6 二维卷积定理 P157 - P159
  • 6.7 二维离散傅里叶变换性质的小结 P159 - P161
• 本章知识点小结

一、背景 P124 - 125

• 傅里叶指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，每个正弦项和/或余弦项都乘以不同的系数(现在称为傅里叶级数)
• 对于非周期函数，也可以正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。在这种情况下的公式就是傅里叶变换

二、基本概念 P125 - 130

2.1 复数 P125 - P126

• 复数
  C = R + j I C = R + jI C=R+jI
• 极坐标表示复数
  c = ∣ c ∣ ( c o s θ + j s i n θ ) c =\vert{c}\vert(cos\theta + jsin\theta) c=∣c∣(cosθ+jsinθ)
• 欧拉公式
  e j θ = c o s θ + s i n θ e^{j\theta} = cos\theta + sin\theta ejθ=cosθ+sinθ
• 欧拉公式变换后的极坐标表示复数
  c = ∣ c ∣ e j θ c =\vert{c}\vert e^{j\theta} c=∣c∣ejθ

2.2 傅里叶级数 P126

f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e j 2 π n T t f(t) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{j\frac{2\pi n}{T}t} f(t)=n=−∞∑∞​cn​ejT2πn​t
式中，
c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j 2 π n T t d t , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}dt,n = 0,\pm1,\pm2,\pm3 cn​=T1​∫−2T​2T​​f(t)e−jT2πn​tdt,n=0,±1,±2,±3

2.3 冲激及其取样特性 P126 - P128

• 连续函数的冲激取样
  ① δ ( t ) = { ∞ , t = 0 0 , t ≠ 0 \delta(t) = \begin{cases} \infty,t = 0\\ 0,t ≠ 0\\ \end{cases} δ(t)={ ∞,t=00,t=0​
  ② ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1 ∫−∞∞​δ(t)dt=1
  ③ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0) ∫−∞∞​f(t)δ(t)dt=f(0)
  ④ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - t_0)dt = f(t_0) ∫−∞∞​f(t)δ(t−t0​)dt=f(t0​)
• 离散函数的冲激取样
  ① δ ( x ) = { ∞ , x = 0 0 , x ≠ 0 \delta(x) = \begin{cases} \infty,x = 0\\ 0,x ≠ 0\\ \end{cases} δ(x)={ ∞,x=00,x=0​
  ② ∑ x = − ∞ ∞ δ ( x ) = 1 \displaystyle\sum_{x=-\infty}^{\infty}\delta(x) = 1 x=−∞∑∞​δ(x)=1
  ③ ∑ x = − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) = f ( 0 ) \displaystyle\sum_{x=-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x) = f(0) x=−∞∑∞​f(x)δ(x)=f(0)
  ④ ∑ x = − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − x 0 ) = f ( x 0 ) \displaystyle\sum_{x=-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x - x_0) = f(x_0) x=−∞∑∞​f(x)δ(x−x0​)=f(x0​)
• 冲激串
  s △ T ( t ) = ∑ x = − ∞ ∞ δ ( t − n △ T ) s_{\triangle T}(t) = \displaystyle\sum_{x=-\infty}^{\infty}\delta(t-n\triangle T) s△T​(t)=x=−∞∑∞​δ(t−n△T)
  

2.4 连续变量函数的傅里叶变换 P128 - P130

• f(t)的傅里叶变换(FT)
  F ( μ ) = ℑ { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j 2 π μ t d t F(\mu) = \Im\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi \mu t}dt F(μ)=ℑ{ f(t)}=∫−∞∞​f(t)e−j2πμtdt
• F ( μ ) F(\mu) F(μ)的傅里叶反变换(IFT)
  f ( t ) = ℑ − 1 { F ( μ ) } = ∫ − ∞ ∞ F ( μ ) e j 2 π μ t d μ f(t) = \Im^{-1}\{F(\mu)\} = \int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2\pi \mu t}d\mu f(t)=ℑ−1{ F(μ)}=∫−∞∞​F(μ)ej2πμtdμ

2.5 卷积 P130 - P131

• 卷积公式
  f ( t ) ⊗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ f(t)\otimes h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t - \tau)d\tau f(t)⊗h(t)=∫−∞∞​f(τ)h(t−τ)dτ
• (一维)卷积定理
  ① f ( t ) ⊗ h ( t ) ⇐ ⇒ H ( μ ) F ( μ ) f(t)\otimes h(t) \Leftarrow\Rightarrow H(\mu)F(\mu) f(t)⊗h(t)⇐⇒H(μ)F(μ)
  ② f ( t ) h ( t ) ⇐ ⇒ H ( μ ) ⊗ F ( μ ) f(t)h(t) \Leftarrow\Rightarrow H(\mu)\otimes F(\mu) f(t)h(t)⇐⇒H(μ)⊗F(μ)

三、取样与取样函数的傅里叶变换 P131 - P137

3.1 取样 P131 - P132

f ~ ( t ) = f ( t ) s △ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − n △ T ) \widetilde f(t) = f(t) s_{\triangle T}(t) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - n\triangle T) f​(t)=f(t)s△T​(t)=n=−∞∑∞​f(t)δ(t−n△T)

3.2 取样函数的傅里叶变换 P132 - P133

• F ~ ( μ ) = ℑ { f ~ ( t ) } = ℑ { f ( t ) s △ T } = F ( μ ) ⊗ S ( μ ) \widetilde F(\mu) = \Im\{\widetilde f(t)\} = \Im\{f(t)s_{\triangle T}\} = F(\mu) \otimes S(\mu) F(μ)=ℑ{ f​(t)}=ℑ{ f(t)s△T​}=F(μ)⊗S(μ)
• S ( μ ) = 1 △ T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( μ − n △ T ) S(\mu) = \frac {1}{\triangle T}\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu - \frac {n}{\triangle T}) S(μ)=△T1​n=−∞∑∞​δ(μ−△Tn​)
• F ~ ( μ ) = F ( μ ) ⊗ S ( μ ) = ∫ − ∞ ∞ F ( τ ) S ( μ − τ ) d τ \widetilde F(\mu) = F(\mu) \otimes S(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)S(\mu - \tau)d\tau F(μ)=F(μ)⊗S(μ)=∫−∞∞​F(τ)S(μ−τ)dτ
  = 1 △ T ∫ − ∞ ∞ F ( τ ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( μ − τ − n △ T ) d τ = \frac{1}{\triangle T} \int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu - \tau - \frac{n}{\triangle T})d\tau =△T1​∫−∞∞​F(τ)n=−∞∑∞​δ(μ−τ−△Tn​)dτ
  = 1 △ T ∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( τ ) δ ( μ − τ − n △ T ) d τ