范德蒙行列式是个啥？
大可数学人生工作室
2024-02-15 06:59:17
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传说中的范德蒙行列式是个啥？今天我就带大家看一看它的真面目：
行列式是个啥？如果你有看过我之前的文章，就知道行列式的值是一个“数”。这个数其实代表了线性变换后的面积比率。
首先是二阶范德蒙行列式，它的第一行全是1，第二行有两个任意的实数a和b：
它的值一眼就能看出来，无非就是主对角线乘起来减去副对角线乘起来：b-a嘛。
那三阶范德蒙行列式长啥样子？
注意看，它第一行依然全是1，只不过从2个变成了3个，这很好理解，因为2×2矩阵变成了3乘3矩阵，自然会多出5个数来，同时还多出了一个未知数c，且多了a的平方，b的平方和c的平方。
这就是三阶的范德蒙行列式，那么它的值怎么算呢？
这么复杂，我当然是不会笔算的，请出我们的matlab跑一下：
实际上这个复杂的式子可以组合成下面这样，也就是最后一个数c减去前两个数a，b分别乘起来，在乘以中间的数b减去a，是三项连乘的形式：
再看看四阶范德蒙行列式，你们发现其中的规律了吗？
它其实就是，：
不信的话，大家可以用matlab跑一下就知道结果究竟对不对了：
好了，铺垫做得够多了，我们现在引出这个范德蒙行列式专业的数学定义，相信大家再看它的时候就不会看不懂了：
x1，x2，x3，xn，说白了就是a，b，c，只不过换了个字母表示而已。后面像门一样的东西是数学中的连乘符号，也就是把所有的值都遍历一遍，i比j大，也就是之前公式里的用x3-x2，x3-x1，x2-x1。
比如，三阶范德蒙式的D3就是：
范德蒙行列式有啥用呢？
说了一大堆，你问，那这玩意儿有什么实际用处呢？为什么在线性代数的课本里要出现它？
1.它在数学定理中证明用得多，比如多项式插值，不是数学相关领域的人基本用不到，这里就不做介绍了。（详情可参考知乎“纯粹”先生写的文章）
2.就是为了看好看。你有在范德蒙行列式中感觉到一种数学的美感吗？
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