切比雪夫(1821-1894)

俄罗斯的数学家们常说，他们的现代数学是由切比雪夫带动而建立和发展起来的。

主要成就

帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫(Pafnuty Lvovich Chebyshev)，俄罗斯数学家，彼得堡学派的奠基人。圣彼得堡皇家科学院院士，法国科学院院士，柏林皇家科学院院士，伦敦皇家学会院士，意大利皇家科学院院士，瑞典皇家科学院院士，圣彼得堡数学学会终身荣誉会士。

切比雪夫一生发表了70多篇科学论文，内容涉及概率论、数论、函数逼近论、积分学等方面。他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。他不仅重视纯数学，而且十分重视数学的应用。

在概率论方面，切比雪夫开创了证明中心极限定理的矩方法，用十分初等的方式证明了一般形式的大数定律，研究了独立随机变量的和函数的收敛条件，引导概率论的研究进入了一个新阶段。其中最为著名的成就是切比雪夫不等式，是概率论中的一种重要不等式，其主要内容是：当拥有一组数据的期望和方差时，可以通过一个不等式来对该组数据中某个存在的数值进行概率大小的估计，这个不等式就叫切比雪夫不等式。它告诉我们一个随机变量的值离其均值的距离不会太远。切比雪夫不等式在统计学中有着广泛的应用，特别是在推断统计学中被广泛使用。

切比雪夫不等式：设随机变量X的期望和方差都存在，则对任意常数ε>0，有

可以用一个表情来记住切比雪夫不等式：≥ε≤

在数论方面，切比雪夫从本质上推进了对素数分布问题的研究。他探讨了素数分布的渐近规律，还证明了约瑟夫·伯特兰(Joseph L. F. Bertrand, 1822-1900，法国数学家) 的猜想：任何大于1的自然数n与2n之间存在至少一个素数。提出了素数分布定理，即在一定范围内素数的个数与这个范围的大小成正比。这个定理在数论中有着重要的应用，也被称为切比雪夫定理。他还研究了用有理数逼近实数的问题，从而发展了丟番图逼近理论,为解析数论的发展开辟了新的方向。切比雪夫还对逼近论的研究有着深刻的见解，他对三角级数和函数逼近的问题做出了一些重要的贡献。他的工作启发了后来的数学家们对逼近论的研究。

在几何学方面，切比雪夫提出了切比雪夫多面体和切比雪夫曲线等概念，提出切比雪夫距离，并研究了它们的性质，对几何学的发展做出了重要的贡献。数学上，切比雪夫距离(Chebyshev distance)或是L∞度量是向量空间中的一种度量，两个点之间的距离定义为其各坐标数值差的最大值。以(x1,y1)和(x2,y2)两点为例，其切比雪夫距离为max(|x2-x1|,|y2-y1|)。

切比雪夫在经典数学分析中也做了许多工作，研究了无理函数的可积性，解决了有限形式下椭圆积分问题，建立了微分二项式的可积条件等等。

在力学方面，他主要从事这些数学问题的应用研究。他在一系列专论中对最佳近似函数进行了解析研究，并把成果用来研究机构理论。他首次解决了直动机构(将旋转运动转化成直线运动的机构)的理论计算方法，并由此创立了机构和机器的理论，提出了有关传动机械的结构公式。他还发明了40余种机械，制造了有名的步行机(能精确模仿动物走路动作的机器)和计算器，发表两篇著作《平行四边形机构的理论》和《论平行四边形》。

切比雪夫在圣彼得堡建立了第一所俄罗斯数学研究院（Russian Mathematical School），带起了一代年轻人。在他的组织和领导之下，圣彼得堡数学学派逐渐形成，让俄罗斯数学走到了世界前列。切比雪夫因而被尊称为俄罗斯现代数学的奠基人和领袖。

切比雪夫于1858年当选为圣彼得堡皇家科学院院士。他作为第一个俄国科学家被法国科学院遴选为通讯院士(1860年)，然后成为正式院士(1874年)。此外，他还被选为柏林皇家科学院院士(1871年)、伦敦皇家学会院士(1877年)、意大利皇家科学院院士(1880年)、瑞典皇家科学院院士(1893年)。1890年，他获法国荣誉军团勋章。1893年，他成为圣彼得堡数学学会终身荣誉会士。

人物生平

切比雪夫

1821~1894

切比雪夫纪念碑

（莫斯科大学校园）

1821年5月26日，切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃，他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。父亲列夫·切比雪夫(Lev Pavlovich Chebyshev)是沙皇时代的一名军官，参加过抵抗拿破仑入侵的卫国战争，母亲阿格拉费娜·伊万诺夫娜·切比雪娃也出身名门，列夫和妻子一共育有9个孩子，其中切比雪夫排行第二。他的一个弟弟弗拉季米尔·利沃维奇·切比雪夫后来成了炮兵将军和彼得堡炮兵科学院的教授，在机械制造与微震动理论方面颇有建树。

切比雪夫从小身体残疾，借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍。幼时，他在家里接受启蒙教育，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。

1832年，切比雪夫举家搬到俄国科学和文化中心——莫斯科。他的父母继续让他在家里接受教育，所不同的是给他聘请了当时莫斯科最好的家庭老师波戈列利斯基(P.N.Pogorelski)，他为小切比雪夫打下了坚实的数学和人文基础。

1837年，切比雪夫进入了著名的莫斯科大学。受波戈列利斯基的影响，他选择了哲学系下属的数学物理专业。在大学的最后一个学年，切比雪夫递交了一篇题为“方程根的计算”的论文，在其中提出了一种建立在反函数的级数展开式基础之上的方程近似解法，因此获得该年度系里颁发的银质奖章。

1841年，切比雪夫大学毕业，但此时父母的经济状况急转直下，已无力支持他的生活等各项费用。他凭着对数学的热爱，毅然决定留在莫斯科继续研读数学，同时负担起自己的费用和两个弟弟的部分教育费用。

切比雪夫用6个月通过了资格考试，并在布拉什曼的指导下攻读硕士学位， 1843年，切比雪夫通过了硕士课程的考试，并在刘维尔(Joseph Liouville，1809-1882，法国数学家)的《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》(纯粹与应用数学杂志，俗称刘维尔杂志，创办于1836年)上发表了一篇关于多重积分的文章。1844年，他又在格列尔(L. Grelle,1780-1855，德国数学家)的同名杂志上发表了一篇讨论泰勒级数收敛性的文章。当时数学界有两家权威的刊物，都叫《纯粹与应用数学杂志》，由于创办人的不同也有人把它们分别称为《格列尔杂志》和《刘维尔杂志》，世界上任何一个有名望的数学家，都以能在这两家刊物上发表文章为荣耀。

1845年，切比雪夫在其硕士论文中借助十分初等的工具ln(1+x)的麦克劳林展开式，对雅格布·伯努利大数定律作了精细的分析和严格的证明。一年之后，他又在格列尔的杂志上发表了“概率论中基本定理的初步证明”一文，文中给出了泊松形式的大数定律的证明。1846年他通过了硕士论文答辩。

1847年,他获得了圣彼得堡大学的一个特许任教资格位置，从此开始了在大学执教生涯。他热心教授学生，注重科学研究，加强与国际数学界的交流，一手创建了彼得堡学派，其成员和成果对俄国的近现代数学产生了巨大影响。1849年，他以题为“同余理论”的论文获得圣彼得堡大学博士学位，随后该论文获彼得堡科学院的最高数学荣誉奖。

1850年，切比雪夫在圣彼得堡大学晋升为副教授。1852年下半年，他到法国、英国、德国和比利时进行了一次让他毕生受益的学术访问。切比雪夫不但考察了先进的蒸汽机、风磨和机械设备，而且拜访了多位活跃的数学家。此后十多年间，切比雪夫几乎每年夏天都到西欧进行学术访问。他先后访问过柯西(Augustin-Louis Cauchy，1789-1857)、刘维尔(Joseph Liouville，1809-1882)、比奈梅(Irénée-Jules Bienaymé，1896-1878)、厄米特(Charles Hermite，1822-1901)、 塞雷特(Joseph A. Serret，1819-1885) 、庞塞莱(Jean-Victor Poncelet，1788-1867)、勒贝格(Henri L. Lebesgue，1875-1941)、凯莱(Arthur Cayley，1821-1895)、西尔维斯特(James J. Sylvester，1814-1897)和狄利克雷(Peter G. L. Dirichlet，1805-1859)等一流数学家。此外，他和卢卡斯(Édouard Lucas，1842-1891)、博查特(Carl W. Borchardt，1817-1880)、克罗内克(Leopold Kronecker，1823-1891)以及魏尔斯特拉斯(Karl T. W. Weierstrass，1815-1897)等著名数学家建立有长期的联络和交流，对切比雪夫的毕生研究影响最大的是法国数学学派。1853年，切比雪夫被选为彼得堡科学院候补院士，同时兼任应用数学部主席。1856年成为副院士，同年，切比雪夫被任命为炮兵委员会的成员，积极地参与了革新炮兵装备和技术的工作。

1850年圣彼得堡大学物理与数学教师

（前排左二是切比雪夫）

1859年成为院士，1860年升为教授并当选为法兰西科学院通讯院士。1866年，切比雪夫发表了“论平均数”进一步讨论了作为大数定律极限值的平均数问题。他于1867年提出的一个计算圆形炮弹射程的公式很快被弹道专家所采用。他在圣彼得堡大学教授联席会上作的“论地图制法”的报告精辟地分析了数学理论与实践结合的意义，也详尽讨论了如何减少投影误差的问题。在法国科学院第七次年会上，切比雪夫提出了一篇名为“论服装裁剪”的论文，其中提出的“切比雪夫网”成了曲面论中的一个重要概念。1873-1882年间，切比雪夫多次参加了法国最重要的 French Association for the Advances of Sciences 学术会议并先后做过16场数学报告。

1882年，61岁的切比雪夫从大学教学岗位退休，之后全职在科学院工作，把余生奉献给了无休止的数学研究。1887年，他发表了更为重要的“关于概率的两个定理”开始对随机变量和收敛到正态分布的条件，即中心极限定理进行讨论。

帕夫努蒂·切比雪夫

1894年11月26日，73岁的切比雪夫在圣彼得堡病逝。在切比雪夫去世后苏联还发行了切比雪夫的纪念明信片。

切比雪夫终身未娶，日常生活十分简朴，他把全部积蓄都用来买书和制造机器。他最大的乐趣是与年轻人讨论数学问题。彼得堡数学学派是伴随着切比雪夫几十年的舌耕笔耘成长起来的。它深深地扎根在大学这块沃土里，它的成员们大都重视基础理论和实际应用，善于以经典问题为突破口，并擅长运用初等工具建立高深的结果。19世纪下半叶，俄国数学主要是在切比雪夫的领导下，首先在概率论、解析数论和函数逼近论这三个领域实现了突破。科尔金、佐洛塔廖夫、索霍茨基、波谢、马尔科夫、李雅普诺夫、格拉韦、伏罗诺伊、沙图诺夫斯基、克雷洛夫、茹科夫斯基、斯捷克洛夫等人又在复变函数、微分方程、代数、群论、数的几何学、函数构造、数学物理等领域大显身手，逐步从极端落后境地走向世界前列，某些领域的优势则一直保留至今。

趣闻轶事

亲自设计和制造了一些机械。据说，切比雪夫一生共设计了40多种机器及其80多个变种，包括可以模仿动物行走的步行机，可以自动变换船桨入水和出水角度的划船机，可以度量实际曲率并绘出大圆弧的曲线规，以及压力机、筛分机、选种机、自动椅和手摇计算机。

开放的思维和创造性的想法。在19世纪末，切比雪夫和一些其他的数学家聚在一起，讨论一些数学问题。其中一个问题是如何在一个有限的区间内找到一个多项式，使得它在这个区间内的误差最小。切比雪夫开始思考这个问题，并提出了一种新的方法，即用一种特殊的多项式来逼近函数，被称为“切比雪夫逼近”。通过这个方法，切比雪夫发现了一种新的数学领域，即“函数逼近论”。这个领域研究如何用简单的函数来逼近复杂的函数，对于现代数学和工程学有着重要的应用。这个故事告诉我们，数学家不仅需要才华和勤奋，还需要开放的思维和创造性的想法。切比雪夫通过对数学问题的讨论，发现了一种新的数学领域，为数学界做出了重要贡献。

对教学程序的掌控像做数学研究一样严格和精密。他从不缺课、从不迟到，但每当到了下课时刻，他也从不在教室多逗留一分钟。如果有一个数学证明来不及讲完，他将会在下一节课从被打断的地方开始继续他的推证。

热爱足球。虽然切比雪夫是一位数学家，但他也对足球有着浓厚的兴趣。他经常参加校内的足球比赛，并且组织了一支校内的足球队。

儿时经历。切比雪夫在小时候就展现出了出色的数学天赋。有一次，他在玩耍时，突然看到一只鸟落在了一个漏斗的底部，他想知道鸟在多长时间内才能从漏斗底部飞出来。他在家里找了一些材料，建立了一个模型，并计算出了鸟需要花费的时间。这个经历让他的父亲非常震惊，并认为他的儿子有着不同寻常的数学天赋。

来源：概率统计之家