广义相对论的初期实验验证，《张朝阳的物理课》推导水星的反常进动
在建立广义相对论的初期，学界对这一崭新的时空与引力理论是十分陌生的。初生的理论迫切需要实验的检验，1919年 Eddington 团队的引力透镜实验可以说是最成功的实验之一。而另一个更直接，更贴近我们的世界的实验验证则是对水星近日点的进动的解释。广义相对论成功解释了从19世纪以来， Newton 引力理论无法解释的水星近日点进动的行为，这也成为了对广义相对论最初的支持之一。2024年3月3日中午，《张朝阳的物理课》第一百九十九期开播，搜狐创始人，董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳先生坐镇搜狐直播间，为广大网友带来一节利用广义相对论计算水星反常进动的计算的物理课。
广义相对论下质点的运动方程
真空中的 Einstein 场方程的球对称解，即 Schwarzschild 解，拥有线元形式为
其中 Schwarzschild 半径有
线元同时也确定的时空度规的形式。它可以被用来描述球对称天体外的引力场，换言之，它对应于 Newton 引力的平方反比律的相对论修正。在广义相对论中，引力场中的质点将会按照测地线运动。如果用参数曲线 (ct, r, θ, ϕ) 来描述粒子的轨迹，这四个坐标将是某个参数的函数。对于有质量粒子走过的类时测地线，其轨迹参数可以安全地选择为其正比于线元的原时，即
从而轨迹需要满足测地线方程，即
其中 Γ 被称为 Christoffel 符号，它由度规张量所确定。因此一旦从 Schwarzschild 解的度规中计算出所有 Christoffel 符号，那么球对称引力场中的质点的运动方程就得到确定，进而其轨迹也就可以计算得到并对照同 Newton 引力的不同。
回忆 Christoffel 符号同度规的关系，有
在球坐标下，Schwarzschild 解的度规是对称的，而且仅是坐标 r 和 θ 的函数，因此这对 Christoffel 提出的很高的要求。不妨从 α=0 开始考虑（即坐标 t），此时对 β 的求和中只有 β=0 的项有贡献。由于度规对 t 的偏导数等于 0，因此只有当 μ 或 ν 为 0 时 Christoffel 符号才不为零。再考虑到这样的度规分量（即 g_00）仅是坐标 r （对应于指标1）的函数，因此 α=0 时非零的 Christoffel 符号只有
从而有关于坐标 ct 的方程为
引入变量
则微分方程成为
两边同除 y，可以发现这个方程可被积分。有
对于从无穷远处静止释放的质点，按照 Schwarzschild 度规下引力渐进平坦的特性，我们可以断言：无穷远处静止的质点的坐标时微元等于其原时微元，因此这个常数等于1。然而一般地，这个常数取不同的值对应于不同类型的测地线。我们不妨将其写为
在下一节的讨论中，我们将研究这一守恒量的物理意义。接下来考虑角度 ϕ 的方程，即指标 α=3。按照类似的分析此时非零的 Christoffel 符号只有
对天体运动的观察告诉我们环绕太阳的天体轨道总是处在一个平面之内。这一点可以从完整的测地线方程中推出。如果承认这一点，将球坐标的极轴设置在垂直于轨道平面的方向，即令 θ=π/2 为一常数，而 ϕ 的方程成为
这使我们回忆起 Newton 引力中处理天体运动时看到的角动量守恒。
最后我们讨论 r 的方程，即指标 α=1。同前一样，非零的 Christoffel 符号有
从而径向方程满足
其中使用了 θ=π/2 的条件。径向方程连同角度 ϕ 和坐标时 t 的方程
这三个方程共同组成了 Schwarzschild 度规下质点的运动方程。
相对论质点运动方程中的守恒量的理解
在具体地求解相对论性轨道方程前，我们来考察一类特别的运动：即 L=0 时质点的径向运动。这种运动将会带给我们更多关于 Schwarzschild 度规下的测地运动的启发。沿着测地线考察世界线的线元，应当有
将上面关于 t 和 τ 的方程代入，立即得到
或者整理成为
这正有着过去 Newton 引力中的机械能守恒的形式（但这里的“径向速度”是对原时的导数），也令我们确信守恒量 E 关系到轨道的能量。对于在无穷远处静止释放的粒子，正如上面讨论的渐进平坦行为应当有 E = 1，方程的右边立即等于0。这也符合我们的直觉。
相对论质点轨道的求解
将守恒量的方程带入到径向方程中，可以得到
就像过去研究 Newton 引力的轨道方程一样，这里采取变量替换来将其转换为 y=1/r 和角度 ϕ 的方程，或者称之为 Binet 变换为
以及二阶导数
从而径向方程成为轨道方程为（其中 y'=dy/dϕ）
或者引入新的参数
可以检查它拥有长度的倒数的量纲。而径向方程可以简化为 （令 y'' 为 y 对 ϕ 的二阶导数）
上面的方程正是相对论性的轨道方程，选择适当的参数 B 的取值和轨道的初始条件（即 y 对 ϕ 的初始值和初始导数值），即可积分得到一条轨迹曲线。但为了研究水星进动则并不需要完整求解这个微分方程。接下来，我们将采取一些天文观测中的数据来帮助我们简化计算。
在 Newton 引力的极限情形，方程中含 r_s 的各级项消失，轨道方程回到过去 Newton 引力情形，即
回忆过去我们求解的经验，参数 B 事实上正对应于轨道的尺寸，最终的轨道方程应当有形式
其中我们已经通过更改角坐标 ϕ 的起点消除掉一个待定参数了，参数 A 则对应于轨道相对圆的偏差。按照天文观测的数据，水星近日点到太阳的距离大约为 0.3 个天文单位，而远日点则为 0.47 个天文单位。这帮助我们确定
考虑到太阳的 Schwarzschild 半径约为 3km，可以计算发现
略去这个量级如此小的量，轨道方程被简化为
可见相对论对 Newton 引力的修正。这里我们对这个非线性微分方程进行近似求解。为此，将 Newton 引力的轨道形式进行处理，有
我们可以预期，对于实际的天体轨道，这个等式的等号两边仍然是近似相等的。将此带入轨道方程的右侧替换掉导数项，则有
整理得
利用上面的数据计算不难看到其中诸如 1 + r_sB 和 B 的系数仍然在极高的精度接近于1。从而轨道方程进一步近似为
利用天文观测中水星进动的运动行为，我们可以写出试探解形式
其中 ϵ<<1 描述了轨道近日点的进动。将试探解带入方程中并略去关于 A' 的高阶项，得到
要求两边系数对应相等，我们得到（近似略去 ϵ 的二次项）
近似地有 B ~ B'，从而我们有
这个修正了的轨道方程暗示我们质点不再以 2π 为周期，换言之，轨道的近日点将随着其运行而离开原本的位置，即近日点进动。每一圈引起的进动角不难写出为
对于所参考的 Newton 引力的椭圆轨道，参数 B 同轨道的近日点 r_min 的远日点 r_max 的关系有
其中 a 为椭圆的半长轴长，而 e 则为椭圆的偏心率。在 Newton 引力里边这正对应于角动量参数 L，亦即上面的守恒参数 E ~ 1 的情形。我们也可以写出进动角的表达式
带入水星的数据，可以计算得到
考虑到水星公转周期是88天，经过一个世纪，累计的进动角就达到了约 43''，这和当时通过天文观测看到的减除掉如太阳系内其他天体的摄动等贡献的进动之外，剩余的无法被 Newton 引力所解释的进动角符合得极好。因此也成为了广义相对论最初的实验验证之一。
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